Математика в сузір'ї наук
(сценарій математичного вечора для учнів 9-11 класів).
Мета: розширити і
поглибити знання учнів з математики; показати зв'язок математики з іншими
науками, виробництвом, використанням комп'ютерної техніки; сприяти розвиткові
інтелектуальних і творчих здібностей учнів, розширенню їх кругозору.
Хід свята:
Слайд1.
Ведучий: Відкриваємо ми свято,
Всіх запрошуєм до нас;
І веселих, і кмітливих
Взяти участь просим вас.
На сцену виходять 2 учні.
1-й учень. Сьогодні будем друзі з вами
Царицю всіх наук вітати,
Так можем гордо і по праву
Ми математику назвати.
2-й учень. Наук на світі є багато,
Їх навіть важко полічити.
Та нам їх треба добре знати,
Щоб всесвітом
оволодіти.
1-й учень. До різних ми наук охочі,
Нехай ведуть нас до вершин.
Та зараз ми сказати хочем:
«Наш математиці уклін».
Ведучий. Математика найдавніша з наук, вона
тісно пов'язана з іншими науками, зокрема з мистецтвом і музикою…
Звучить вальс Чайковського.
Слайд 2.
Ведуча. Відомий датський фізик Нільс Бор говорив, що математика є чимось значно
більшим, ніж наука, оскільки вона є мовою науки.
Ведучий. Глибоке розуміння математики потрібне не лише математикам, фізикам чи
хімікам. Математичний стиль мислення, уміння строго доводити потрібні також
майбутнім юристам, історикам, біологам, лінгвістам, лікарям і будівельникам.
Ведуча . Велике значення у житті людини мають числа, без використання яких не
можливе життя на Землі, життя у сучасному світі. Століття та секунди,
температуру і час, результати досліджень - усе позначають числами. Число…
вам здається, що це дрібниця. Але скільки минуло часу, доки винайшли таке
просте і зрозуміле поняття, як число. Воно тому геніальне, бо просте, а просте,
бо знайдене в результаті тривалих пошуків.
Ведучий. Роль математики в сучасному світі, у практичній діяльності людини така
велика, що наш час називають епохою математичних знань.
1-й учень. На перший погляд
математика виглядає схожою на хащі формул, математична символіка створює
ілюзорне уявлення про неї, як нібито суху без емоційну галузь людського
пізнання. Насправді ж математична творчість, як і мистецька, пройнята буянням
уяви й фантазії. Спершу вгадати, а тоді довести – ось
принцип, за яким було зроблено більшість математичних відкриттів.
2-й учень. «Математика… володіє… найбільшою красою, - тією холодною суворою
красою, яка є в скульптурі, красою, яка не промовляє ні до чого в нашій
тендітній натурі і не має блискучого зовнішнього оформлення живопису чи музики;
а проте ця краса такої піднесеної чистоти й витонченої досконалості, на яку
спроможне лише найвеличніше мистецтво», - писав англійський математик і філософ
Б. Рассел (1872-1970).
1-й учень. Справжній математик – це той, хто не лише розв'язує задачі, а й прагне
розв'язати їх красиво, бо саме витонченість, краса, стрункість, лаконізм
розв'язання засвідчує найвищий ступінь знання, інтелекту, майстерності
математика, його талант і зрілість.
У математичній літературі ми часто зустрічаємо
вирази: «красива побудова», «стрункий виклад», «чарівна, дивовижна теорема»,
«золота формула», «витончена теорія», «елегантний підхід».
Ведучий. Починаємо другу частину нашого свята. Наші юні математики поведуть нас
стежками цієї дивовижної, вічно молодої науки.
Звучить полонез Огінського, на сцену виходять 5 учнів.
Слайд 3.
1-й учень. Ще давньогрецький учений Піфагор надавав числам надприроднього значення.
Він і його школа вважали, що речі – відображення чисел, числа – закон і
зв'язок світу. Числа – це сила, що керує богами і смертними, все можна виразити
числами, число можна побачити в у сіх заняттях людини, в мистецтві, в ремеслах
і в музиці. Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону
струни обернено пропорційна до її довжини. Він створив першу математичну теорію
музики.
Слайд 4.
2-й учень. Піфагор побудував монохорд (у перекладі однострунник). Це був довгастий
ящик з натягнутою зверху струною. Під струною Піфагор накреслив шкалу, щоб
зручніше було ділити струну на частини. З монохордом було проведено багато
досліджень, що дало можливість Піфагору знайти математичне пояснення різного
звучання струни: коливається струна по-різному, її звучання залежить від
довжини і товщини струни.
Піфагор міркував приблизно так: «Ціла струна звучить як
«до», половина – «ре», чверть – «мі», восьма – «фа». Його октава виражалася
так:
1; ½;1/3; ¼; 1/5; 1/6;1/8; 1/16.
3-й учень. Скільки музичних творів написано за всю історію людства! А всі вони не що
інше, як чергування семи нот. І холодні формули математики не ізольовані від
гарячого проміння людських почуттів. Хіба не можна музику описати як математику
почуттів, а математику – як музику розуму!
4-й учень. На перший погляд, математика і музика нічого спільного не мають. Але
в музиці кожна нота має свою тривалість. Рахуючи «раз – і – два – і – три –
і…», ми виділяємо такти, стежимо за ритмом. А такі назви тривалостей нот,
як «половина», «четвертина», «восьма», «шістнадцята», схиляють до думки про
безпосередній зв'язок музики і математики.
5-й учень. Композиція і теорія музики не можлива без математики. Математичне пояснення
основ гармонії в музиці належить Піфагору. Він визначив суть гармонії так:
найприродніше сприймаються вухом людини ті частоти, які перебувають між собою в
простих числових відношеннях.
1-й учень. Але звукоряд Піфагора був не досконалим. Досконалим він став завдяки
математичним розрахункам органіста і теоретика музики Андреса Веркмейстера.(Слайд5). Клавіатура фортепіано
поділена на сім частин (октав), у кожній з яких сім білих і п ять чорних клавіш. Це зараз
нам здається, що інакше й бути не може. Відкриття Андреса Веркмейстера було
революцією в музиці.
2-й учень. Говорять що Ейнштейн, міркуючи над проблемами теорії відносності, любив
грати на скрипці, і саме в такі хвилини зародилася його геніальна ідея.
Слайд 6.
3-й учень. Німецький філософ, математик і фізик Готфрід Лейбніц вважав, що «Музика –
це прихована арифметична вправа душі, що не вміє себе обчислювати», «музика є
радість душі, яка обчислює, сама того не усвідомлюючи».
4-й учень. Піфагору приписують вираз
«музика кришталевих сфер». У його розумінні кожна планета звучить у космосі як
нота. Так, Сонце – «до», Місяць – «фа». Його погляди поділяв Йоган Кеплер, який
вбачав у світобудові оркестр Сонячної системи, що нечутно для людини виконує
світову симфонію.
5-й учень. Може ви чули вираз: «Співучі зорі»? йдеться про звуки, які могли б видавати
планети Сонячної системи під час ідеального руху по своїх орбітах, звуки,
які нині вчені змогли записати за допомогою синтезатора.
1-й учень. Народженню такої музики сприяли багаторічні пошуки музикантів,
мистецтвознавців, математиків, астрономів, кібернетиків. Вони систематизували
музику зоряного неба за допомогою обчислень, які провів у 17 ст. один з
найвидатніших астрономів і математиків Йоганн Кеплер. Коли Кеплер відкрив
закони руху планет, він висунув гіпотезу про існування пов'язаної з ними …
музики! Вчений обчислив швидкості планет і переклав їх на ноти, він намагався
переконати сучасників, що музика зірок є «безперервною піснею кількох голосів,
які вловлюються розумом, а не вухом».
2-й учень. За допомогою електронно-обчислювальної техніки вчені дали можливість нам цю
музику почути. «Пісня» кожної планети залежить від її розмірів, форми і зміни
швидкості руху. Меркурій, наприклад, тихо посвистує. Венера звучить у діапазоні
четверті тону, Земля «співає» трохи сумну мелодію, Марс видає звуки зі швидкими
переходами, що охоплюють широкий діапазон тонів.
Слайд 7-15.
3-й учень. «Здатність сприймати математику поширена серед людей, мабуть, більшою
мірою, аніж здатність діставати насолоду від приємної мелодії, вона притаманна
величезній більшості», - так вважав відомий англійський математик Годфрі Харді.
Слайд 16.
4-й учень. Математика допомагає майстрові будувати музичні інструменти. Найпростіша
сопілка створюється так: на половині довжини свердлять дірочку – це «до»,
на третині – «ре», на чверті – «мі».
5-й учень. Як можна досягти того, щоб дзвони мали красивий звук незалежно від того,
маленькі вони чи великі? Наприкінці 70-х років 20 ст. фахівці Військової
академії в Москві розкрили секрет красивого звуку. Дзвін повинен містити 81,94%
міді, 17,21% олова, 0,035% сірки. Обчислили також, що в основі форми дзвона
лежить рівнобедрений трикутник зі сторонами, що утворюють «золоту пропорцію», а
профіль дзвона добре описується логарифмічною спіраллю.
Слайд 17.
1-й учень. Високо оцінив чинник прекрасного в математиці український математик
М.Чайковський: «Якби в математиці не було краси, то , мабуть, не було б і
самої математики. Бо яка ж тоді сила притягала б до цієї нелегкої науки
найбільших геніїв людства?».
2-й учень. Український композитор Лев Миколайович
Ревуцький є автором фортепіанних творів, хорових і сольних обробок українських
народних пісень. Він відредагував оперу «Тарас Бульба» Миколи Лисенка, а свого
часу був студентом фізико-математичного факультету Київського університету.
Слайд 18.
3-й учень. Термін «натуральне число» ввів римський вчений, державний діяч, філософ,
автор праць з математики і теорії музики Боецій (475-525).
Слайд 19.
4-й учень. Ератосфен (близько 276-194 до н.е.) – визначний давньогрецький учений, друг
Архімеда. У математиці дав відомий спосіб знаходження простих чисел. Займався
музикою.
5-й учень. Учення про відношення та пропорції давні греки називали музикою, яку
вважали галуззю математики. Вони знали, що чим слабше натягнуто струну, тим
нижчий звук вона дає, а чим тугіше натягнуто струну, тим звук вищий. Але в
музичному інструменті не одна, а кілька струн. Щоб усі вони під час гри звучали
злагоджено, їх довжини повинні перебувати у певному відношенні. Тому вчення про
відношення та пропорції у греків називалося музикою.
1-й учень. Одним із перших, хто спробував дати означення краси, був
Піфагор. Виходячи зі своєї філософії, проблему краси він пов'язував з проблемою
гармонії, а гармонія для нього поєднувалася з досконалістю. Він намагався
знайти гармонію в числових відношеннях, і звідси пішли музичні гармонії: октава
– 1:2, кварта – 3:4, квінта – 2:3. Перші звукові прилади було створено в
театрах Давньої Греції, Давнього Рима, актори вставляли в свої маски маленькі
рупори для підвищення звука.
Слайд 20.
2-й учень. Ейлер (1707-1783) – визначний математик, фізик і астроном, був надзвичайно
працьовитим, його не можна ні з ким порівняти в цьому плані. Водночас він був
людиною веселої вдачі, хоча часу для розваг у нього не було. Лише музика
становила виняток, вона була для нього не відпочинком, а новою формою праці.
Учений з насолодою слухав музику і написав трактат з математичної теорії
музики.
Слайд 21.
3-й учень. Борис Миколайович Делоне – математик, життя і діяльність якого тісно
пов'язані з Україною. Він народився в сім'ї механіка і одержав прекрасне
виховання, він ґрунтовно займався музикою. Хлопчик добре знав і любив Баха,
Моцарта, виконував усі сонати Бетховена, багато сам писав музичних творів.
Учитель музики рекомендував своєму вихованцю вступити до консерваторії по класу
композиції, а вчитель малювання – продовжити навчання в Художній семінарії. Але
Борис Миколайович вибрав інший шлях – шлях математики і фізики.
4-й учень. Математика, незважаючи на всю свою складність і абстрактність, містить у
собі багато художнього та образного дехто навіть говорить про «математичні
образи» як про властивий математиці спосіб пізнання світу. Безперечно,
математика – поезія думки, поезія «логіки ідей», так вважав Ейнштейн, а
математичні формули й закони не тільки виявляють істотні особливості
об'єктивного світу. А й відображають «справжню глибоку красу природи». Як
мистецтво дарує людині красу чуттєвого, так і математика дарує людині красу
розумового.
5-й учень. Математика і музика, математика і архітектура. Що в них спільного? На перший
погляд – нічого. А якщо подивитися уважніше? Науку і мистецтво поєднує
прагнення до пізнання і творчості. Мистецтво створення будинків і споруд, а
також їхніх комплексів називається архітектурою. В архітектурі розрізняють три
сторони – функціональну, що зумовлює тип і призначення будівлі; конструктивну,
до якої відносять засоби створення споруди; художню.
Головними засобами формування простору є зв'язок і
взаємозумовленість елементів цілого, симетрія і асиметрія, контрасти, ритм,
пропорції, масштаб.
1-й учень. У Стародавньому Єгипті була добре розвинута математика. Єгиптяни
користувалися десятковою системою числення, могли знаходити площі
прямокутника, трикутника, трапеції, об'єми куба, паралелепіпеда, призми,
циліндра, піраміди. Пропорційні відношення вони застосовували в живописі та
архітектурі. У період Стародавнього царства для поховання фараонів
споруджували грандіозні піраміди (3 тис. до. н. е.). (Слайд 22). Будували храми з прямокутними залами, стелі
яких опиралися на масивні чотиригранні стовпи.
Слайд 23.
2-й учень. В епоху Середнього царства архітектура втратила колишню грандіозність. Для
поховання знаті почали використовувати скельні гробниці, вхід до яких
оформлювали у вигляді портика з двома або чотирма колонами, які також використовували
при будівництві поминальних храмів розширилося будівництво іригаційних споруд,
зростали й розвивалися міста.
3-й учень. У Стародавньому Римі великого значення набули типи споруд, що
свідчили про могутність держави – великі міста з центральними площами форумами,
фортеці, шляхи, мости, акведуки, амфітеатри, базиліки, арки тріумфальні
тощо.(Слайд 24-25). З'явилися склепінчасті перекриття, нові будівельні
матеріали (Колізей – 1 ст. і Пантеон, 2 ст. у Римі).
4-й учень. Новим етапом розвитку будівництва була архітектура Стародавньої Греції (8 –
1 ст. до н. е. ). У давньогрецьких містах-державах (полісах) виникали
нові типи житлових, культових і громадських будівель, громадсько-релігійні
центри – акрополі.(Слайд 26). У 7 – 6 ст. до н. е. давні греки заснували
античні міста і селеща (Олівія, Пантікапей, херсонес) на південних землях
теперішньої території України.(Слайд 27). Ці міста мали регулярне геометрично
чітке планування, в архітектурі будівель застосовувалися античні ордери.
Ордерна система була характерна для архітектури України у 16 – початку 18 ст.
5-й учень. За феодального ладу основними типами будівель стали культові споруди –
християнські церкви і монастирі в Європі; мечеті, медресе, мавзолеї в східних
країнах, де панувала мусульманська релігія, а також кріпосні та оборонні
споруди – замки, фортеці, кремлі. У країнах Західної і Центральної Європи
поширився романський стиль, для якого характерні суворі форми будівель з
півциркульними склепіннями. У Візантії створено грандіозні купольні споруди.
Слайд 28.
1-й учень. У період розвитку феодалізму, з 12 ст. у країнах Західної і
Центральної Європи поширилася архітектура готики, яка прийшла на зміну
романському стилю.(Слайд29). Міський
собор став не лише культовою, а й громадською спорудою. Для будівництва соборів
було розроблено нову конструктивну систему, в основу якої покладено каркасну
структуру, стрілчасті арки й ребристі склепіння. Ця схема давала змогу набагато
збільшити ширину нефів і висоту будівель. Споруди стали легкими, стрімко спрямованими
вгору. Водночас із культовою архітектурою розвивалися містобудування та
громадська архітектура (житлові будинки, ратуші, палаци, торгові ряди, міські
башти тощо).
2-й учень. Конструктивні прийоми готики мали позитивний вплив на розвиток архітектури
доби Відродження. Архітектура доби Відродження характеризується зверненням до
естетичних засад, прийомів і форм античної греко – римської архітектури.(Слайд
30.). Провідне місце в ній відводиться світським будівлям (палаци, вілли,
громадські будинки). Для культового будівництва характерні купольні споруди з
висотно розкритим простором в інтер'єрі.
Слайд 31.
3-й учень. На зміну архітектурі Відродження в кінці 16 ст. приходить стиль барокко,
пов'язаний з дворянською культурою часів розквіту абсолютизму.
З другої половини 18 ст. у всіх європейських країнах, в
Америці й Австралії панівним став стиль класицизму.( Слайд 32). Архітектурі
класицизму властиві строгість і геометризм підкреслено статичних
силуетів, постійні звернення до форм античності. Провідне місце в архітектурі
класицизму належить містобудуванню.
4-й учень. У 30-40-х роках 19 ст. класицизм переживає занепад, вироджуючись у сухий
казарменний стиль з елементами еклектизму.
У 20 ст. в багатьох країнах світу розвивається
інженерно-будівельна наука, створюються нові конструкції – великоблокові,
великопанельні, куполи-оболонки. В архітектурі кінця 50-60-х років широко
використовують сучасну будівельну техніку, яка дає можливість створювати
складні просторові форми залізобетонних оболонок . мексиканський архітектор та
інженер Кандела створював залізобетонні склепіння-оболонки різних форм,
тонкостінні покриття у формі гіперболічних параболоїдів.(Слайд 33).
5-й учень. У 20 ст. збільшилася різноманітність структури і форм куполів: ребристі,
ребристо кільцеві з хвилястою внутрішньою поверхнею, монолітні збірні, із
полімерних матеріалів та ін..
Наприкінці 50-х років 20 ст. у Московському
архітектурному інституті розробили конструкцію кристалічних куполів, що
монтуються з різносторонніх багатокутних пластин. Потім їх розробкою займалися
у Горьківському інженерно-будівельному інституті. (Слайд 34).Куполи можна
використовувати і як виставкові павільйони, і як торговельні зали, кафе,
ресторани, складські приміщення. А розміри приміщень є практично
необмеженими. Так у м. Істрі під Москвою побудований купол із прольотом
237 м. Ідея використання кристалічних куполів
дозволила архітекторам будувати гігантські 60-метрові круглі будівлі.
1-й учень. Архітектура нині рухається у двох напрямах: конструювання форм на основі
математичних методів, запозичення цих форм у живої природи, гаслом якого є
вислів «Живі прототипи – ключ до нової архітектури – архітектурної біоніки».
Архітектура другого напряму втрачає поезію прямого кута,
набуває легких, округлених обрисів. Але всі ці обриси потрібно обчислити. На
допомогу архітекторам приходить геометрія. Вона - вона посередник
між природою і архітектурою. В Україні розробкою геометрії природних форм
займаються в Київському інженерно- будівельному університеті.
Слайд 35-36.
2-й учень. Архітектурна біоніка розглядає і павутину павука, і крило кажана – в
результаті створюються тенти на гнучкому контурі; симетрію квітів, морських
зірок, вітрильників – і побудовано будинок оперного театру в Сіднеї
(Австралія). Учені розглядають двостулкові раковини молюсків і як результат –
купол виставкового залу в Ейндховені (Голландія).(Слайд 37-38). Форма крил
метелика надихає архітекторів на створення аеропорту в Нью-Йорку.(Слайд 39
-40).
Архітектурна біоніка має давні корені. Структурними
закономірностями рослин цікавився ще Леонардо да Вінчі.
Не можна обійтися без геометрії і при перевірці
архітектурно-біонічної моделі на міцність. Неабияке значення має геометрія і в
художній обробці архітектурних деталей. Архітектурна біоніка є перспективним напрямком
в архітектурі.
3-й учень. З архітектурою все зрозуміло. А як стосується математика сільського
господарства? Однією з найдавніших проблем сільського господарства є виведення
нових сортів сільськогосподарських культур. Під час виведення нових сортів
рослин виникає багато принципово важливих запитань: як на основі
дослідницьких даних виявити, чи має новий сорт необхідні якості, чи буде він
кращий від попереднього, чи можна вважати, що новий сорт продуктивний і стійкий
від захворювань. Скільки дослідів потрібно провести, щоб достатньою
переконливістю відповісти на поставлені запитання? Без математики тут не
обійтися. Щоб відповісти на запитання, як планувати й виконувати спостереження,
яка кількість дослідів буде достатньою, необхідно звернутися до математичної
статистики.
Слайд 41.
4-й учень. Нехай потрібно вивести новий сорт пшениці. Завдання полягає в тому, щоб
шляхом схрещування одержати новий сорт, який найбільш придатний для даного
регіону. Для схрещування добирають кілька сортів, з яких одержують гібридні
комбінації. Потім їх вирощують у кількох географічних регіонах, фіксуючи для
кожної рослини 15 ознак продуктивності сорту, серед яких – довжина стебла,
кількість зерен, кількість білка, протистояння хворобам, морозам.
Така робота може тривати кілька років. У результаті
накопичується величезна кількість матеріалу, і тут на допомогу селекціонерам
приходить комп'ютерна техніка. Створюються спеціальні програми для аналізу
певних ознак рослин, при цьому застосовується математичний апарат. Після того,
як увесь експериментальний матеріал оброблено на комп'ютері, створюється банк
даних, на основі якого складається атлас домінантних ознак продукції.
Слайд 42.
5-й учень. Лісове господарство – складний підрозділ економіки. Спочатку здійснюється
облік дерев за віком, породами, запасами деревини, умовами проростання,
реакцією на хвороби та іншими ознаками.
Технічні дії, спрямовані на облік лісу оцінку процесів
лісо вирощування, виявлення сировинних ресурсів, визначення об'ємів деревини і
заготівлі продукції, називають таксацією лісу. Таксаційні дослідження
спираються на деякі методи геометрії та математичну статистику.
Слайд 43
Залежність між об'ємом деревини та діаметром стовбура
дерева виражається рівнянням параболи 4-го степеня, і вона єдина для кожного
дерева. При «конструюванні» дерева природа скористалася аналогом теореми
Піфагора: квадрат радіуса основного стовбура дорівнює сумі квадратів радіусів
складових стовбурів, виміряних вище від розгалуження. Об'єм усієї
наземної частини дерева залежить від одного параметра – діаметра стовбура.
Математичні методи допомагають передбачити приріст та динаміку росту насаджень.
2-й учень. Про таємниці розвитку багатьох порід
дерев у різних грунтово-кліматичних зонах можна дізнатися, старанно досліджуючи
коріння дерев з урахуванням найрізноманітніших факторів. Отримані десятки
тисяч даних систематизують і аналізують з допомогою комп’ютерних програм .
На основі досліджень учені розробили рекомендації щодо
раціонального розміщення насаджень, догляду за ними.
3-й учень. Використання математичних рівнянь допомогло зробити багато відкриттів
у фізиці, астрономії та інших науках.
Слайд 44.
У 1928 р. англійськи фізик-теоретик Поль Дірак
запропонував квантове рівняння ,яке описувало рух електрона. З
рорзв’язків цього рівняння для вільної частинки було зроблено припущення про
існування античастинок, яке підтвердилося відкриттям у 1932 р. позитрона.
Після цього стало зрозуміло і фізична суть рівнянь Дірака-існування частинок і
анти частинок .
Ось уже багато років рівняння Дірака є об’єктом
досліджень у теоретичній фізиці. З іх допомогою дістають важливі
результати про поведінку електрона в електричному полі.
4-й учень. Класичною основою
сучасної фізики є теорія електромагнетизму , створена англійським фізиком Дж.
Максвеллом.
Слайд 45.
Він теоритично довів існування електромагнітних
хвиль. У його публікаціях були наведені рівняння, що описували не тільки
всі відомі тоді електричні взаємодії, а й показували на існування
елетромагнітних хвиль ,які повинні були поширюватися зі швидкістю світла.
Максвелл дійшов сміливого висновку , що існують
електромагнітні хвилі що поширюються з цією швидкістю.
Слайд 46
5-й учень. У 1888р. німецький фізик
Г.Герц відкрив передбачені рівняннями Максвелла електормагнітні
хвилі експерементально Г.Герц, дивуючись сміливості
передбачення Максвелла, писав: ‘’Важко позбутися почуття , що ці
математичні форули живуть незалежними життям і мають власний інтелект, що
вони мудріші, ніж ми самі…’’.
1-й учень.Мате5матика допомагає і
лікарям. Наприклад. судини головного мозку .які забезпечують його
кровопостачання – це складні тонкостінні оболонки , схожі на трубопроводи
, що зазнають деформацій. Математика модель кровопостачання
мозку і його порушень може бути побудована на основі розв’язування задачі
гідропотужності.
Слайд 48.
2-й учень. Графічне зображення діяльності серця-
кардіограма-є, по суті, вектор- функцією, що містить 12 -18 компонентів. Кожний
з яких є числовою функією часу. Тому лікар, який вивчає кадіограму
пацієнта, не може обійтися без комп’ютерної програми ,що будує
математичну модель роботи серця на основі n-вимірних просторів.
Так. Перевіривши кардіограму хворого, програма
визначає оптимальні фізичні навантаження лікувальної фізкультури, виявляє
найменші відхилення від нормальної роботи серця і тим розширює можливості
профілактичного лікування.
3-й учень. У кібернетиці розвинулась нова галузь – медична кібернетика. Вона вивчає
проблеми пов’язані з процесами управління в охороні
здоров’я і в медицині. Медична кібернетика використовує методи моделювання, зокрема
фізіологічних процесів у нормі і при паталогії,
Допомагає лікарю прогнозувати протікання хвороби .
Застосовується складні системи збирання, зберігання і аналізу
фізіологічної інформації, автоматизація діагностки захворювань.
Взаємини організму з хвороботворними агентами
описуються системою диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких для кожної людини
свої .Розв’язки цієї системи допомагають у діагностиці і лікуванні.
Ведучий. Світ шо нас оточує, наповнений математикою
, і чим більше ви занурюєтесь у цей дивовижний світ, тим дивовижніші факти
пізнаєте. Історичне значення математики полягає в тому, що вона служила і
служить людині, що вона тісно пов’язана з іншими науками, знаходить порядок в
хаосі, що нас оточує.
Ведуча. Велич людини в її здатності мислити .І людина
залишаєтся людиною таки завдяки тому, що спирається на досвіт
минулого .Ваші знання-це безцінне багатство , а математика допоможе вам як
говорив Ломоносов, ’’розум до ладу привести’’.(Слайд 49). Ви повинні не тільки
осягнути основи знань, навчитися самостійно здобувати їх, а й уміти застосувати
набуті знання на практиці.
Виходять 4 учні.
1-й учень. Ви до знань зробили новий крок.
У навчанні бажаємо удачі.
Хай цікавим буде кожний крок
І розв’язуються правильно
задачі.
Слайд 50.
2-й учень. Запам’ятай , що Гаусс всім сказав: ‘’Є математика царицею наук’’,
І недаремно він заповідав –
Творити , непокладаючи рук.
3-й учень. Нехай не станеш Піфагором ти.
Яким у мріях вирости бажаєш,
Та будеш ти людиною завжди
І Україну добрими ділами вславиш.
4-й учень. Ти визнана давно главою всіх наук-
Потрібна нам ти скрізь, давно і всюди.
Без математики ми нині , як без рук.
З тобою з казки дійсність творять люди.
1-й учень. З тобою ми невпинно ростемо.
З тобою підкоряємо природу,
Твої досягнення ми віддамо
На благо українського народу.
2-й учень. Така вона –наук усіх цариця,
Шляхетна, мудра, добра і весела,
Її корона сонячно іскриться
У кожній школі , містах і селах.
3- й учень .Математика , наче громада
галактик,
Наче складена з одних таємниць,
Наче вічна загадка для цілого людства,
Що не знала ніколи ні меж , ні границь.
4-й учень. Математика – це горизонти наших мислень,
Не пізнати без неї інших наук.
Математика є , математика буде
‘’Королева наук”і ‘’служниця наук’’.
ІСТОРІЯ ЧИСЛА П.
За столом сидить учениця Тетяна. На
столі: відро, вазон, кілька циліндричних склянок різних об'ємів. Дівчинка
рулеткою вимірює довжини кіл та діаметри предметів, проводить обчислення і
результати записує в зошит. За цим заняттям її застає старша сестра Галина.
(Слайд 1)
Галина. Тетяно, чому ти весь посуд з кухні
перенесла на стіл? Що, виставку якусь вирішила влаштувати?
Тетяна. Та ні , Галю. Просто завтра на
геометрії ми повинні якийсь надзвичайно важливий матеріал вивчати. Ось учитель
і дав нам різні завдання додому. Мені дісталося виміряти довжини трьох кіл,
їхні діаметри у предметів домашнього вжитку та обчислити відношення перших із
них до других. І той предмет, у якого це відношення виявиться найбільшим,
принести до школи. Я спочатку думала, що доведеться нести відро. А тепер уже й
не знаю, як бути: відношення це для всіх кіл у мене виходить три з хвостиком.
То що мені нести до школи?
Галина. Бідненька ти моя. Учитель просто з
вами пожартував. Тому що вже завтра на
уроці ви дізнаєтесь, що відношення довжини кола до довжини його діаметра є
число, стале для всіх кіл. І ним є знамените і одночасно й таємниче число П, яке наближено дорівнює
3,14.
(Слайд 2)
Тетяна. А чому наближено?
Галина. А це довга історія. І її так швидко
не розкажеш.
Тетяна. Сестричко, будь ласка. Хоча б
початок.
Галина.
Щоб почати «з самого початку», треба повернутися до початку людської
історії: зазирнути в епоху, віддалену від нас на десятки тисяч або навіть
більше років…
Виходять однокласниці Тетяни –
Соломія і Ганна і стають у кутку сцени. Галина з Тетяною їх не помічають.
(Слайд 3)
Галина (продовжує розповідь). Уяви родове поселення первісних
людей. Один із них сидить під деревом і спритно плете кошика з лози. Краї він
робить круглими, як учили батьки. Він поринув у свої думки. Поряд лежить три
готові кошики. Кинувши роботу, первісний майстер вибирає лозину з купи і
вимірює нею коло, утворене краєм найбільшого кошика, відламує зайву частину
лозини; бере другу і міряє діаметр кошика. Приклавши коротку лозину до довшої,
він робить геніальне відкриття: одна з них три рази вкладається в другій. Він
швидко перевіряє вимірювання на двох інших кошиках і отримує той самий
результат. Радість охоплює першовідкривача. Забувши на деяку мить про свої
кошики, він бігає з лозиною навколо пнів, які залишилися від нещодавно зрізаних
дерев: результат той самий! Тепер він знає, як зробити, щоб кошики його були
найкращими.
А
людство отримало перше значення числа П! про важливість цього відкриття
свідчить те, що вже на світанку історії людина користувалася багатьма
побутовими предметами й прикрасами, що мали форму кола.
Багато
давніх споруд мали круглу форму. Майданчики , на яких відбувався суд, теж були
круглими. Свідченням цього є так звані кромлехи – круги, складені з окремих
каменів, що збереглися в різних частинах земної кулі. (Слайд 4)
Гомер так описує щит Ахілла, на якому
зображена сцена суду: «…старці міські мовчки на нетесаних каменях сидять
посеред священного круга». (Слайд 5)
У формі кругів будували глядацькі зали давніх
грецьких театрів. (Слайд 6)
Вважають,
що чи не першими відкрили число П вавилонські математики, які вважали,
що воно дорівнює трьом. Можливо, це і призвело до того, що Вавилонська вежа
розвалилася. Кажуть, що цю константу застосовували при будівництві легендарного
храму царя Соломона. (Слайд 7). Таке
значення П двічі наводиться у Біблії.
Ця
закономірність передавалася з покоління в покоління. Її виражали всіма мовами
землі. Нею користувався стельмах, який виготовляв дерев'яне колесо до воза,
каменяр, який робив оголовок до криниці, гончар, який вимірював глиняну
посудину по обводу, щоб нанести на неї малюнки, - всі ремісники, які мали
справу з колами.
Збереглися
записи, зроблені в різні часи і різними мовами, але дуже схожі за змістом. На
табличках з випаленої глини у Месопотамії написано: «Якщо 60 є коло, третина
від 60 становить 20. Це є діаметр». Це співвідношення, подане в аналогічній
формі, знаходимо у задачах, записаних у найдавніших єгипетських пірамідах та
індійських папірусах, у китайських книжках та інших. (Слайд 8).
Удосконаливши
науку про вимірювання, єгиптяни помітили, що діаметр кола не вкладається точно
три рази в його довжині. Цей факт глибоко схвилював їх, бо породив сумніви в
правильності відкритих попередниками законів. Це видно із того, що вони
намагалися досягти результату іншим способом – науковими міркуваннями. Так,
очевидно, почалася боротьба між старими традиціями і новими науковими ідеями.
Це призводило до того, що людей, які займалися математикою-наукою, садили у
в'язницю.
Тетяна (здивовано). За заняття математикою
у в'язницю? З нашого класу, а може і з усієї школи, крім учителя математики,
сьогодні туди точно ніхто не потрапив би.
Освітлюється друга частина сцени, в
кутку якої стоїть чоловік у подертому лахмітті, довгі пасма волосся спадають
йому на плечі.
(Слайд 9).
Голос. Крізь вузьке загратоване вікно своєї
темниці Анаксагор бачив безкраю далину блакитного моря, легкокрилих чайок, які
чітко вирізнялися на фоні блакитного небосхилу, і далекі рибальські парусники,
що нерухомо застигли на водній гладіні. Смутку і жалю не було в його очах. Було
умиротворення і легке презирство до тих,
хто засадив його сюди з наміром помститися, принизити, знищити його.
Анаксагор (повертаючись до залу). Нікчемні
дурні. Вони не можуть збагнути, що не існує таємниці для філософа. Думка завжди
вільна, і її не заховаєш ні за товсті
мури, ні за грати. (Філософ сідає на підлогу.)
Голос.
Філософ поринув у глибокі роздуми з приводу креслень. Які він зробив
кінцем тонкої палички на запорошеній
підлозі. Кола різних діаметрів перетинали одне одного. Окремо були зображені серпики, утворені
дугами кіл. У деякі кола були вписані правильні многокутники. У центрі всіх
побудов чітко і впевнено був зображений
квадрат. Площу круга, як відомо, знаходять за допомогою числа П, що дорівнює відношенню
довжини кола до його діаметра. Про природу цього славнозвісного числа і думав Анаксагор.
Виходить Ірина. Вона ще не чує
розповіді Галини.
Ірина. Дівчата, я тут такий цікавий матеріал
для завтрашнього уроку геометрії віднайшла. Закачаєтесь.
Дівчата знаками показують їй, щоб
вона замовкла. Появу дівчинки вже помітила Галина. Дівчата незадоволено
поглядають на Ірину.
Галина. А чи не про число П ти хочеш розповісти?
Ірина. Саме так.
Галина. Ну і добре. Передаю естафету тобі,
оскільки у мене ще своїх справ багато.
Соломія. Ну і принесло тебе. Галя так цікаво
розповідала про незвичайне число. Давай, викладай. З чим ти до нас завітала.
Ірина (співає пісеньку).
Двадцять
дві сови сиділи
(Так
не хочеться робити),
Заповзято
говорили,
Як
би сім мишей зловити.
Сім
мишей, що грають в жмурки,
У
яких гладенькі шкурки…
Хоч
спіймати їх важкенько, Та кортіло говорити.
Двадцять
дві сови ледачі
Мріють
сім мишей зловити.
Дівчата з подивом дивляться одна на
одну.
Соломія. Ти що? Здуріла? А може на математики
перевчилася, що вже від біології її не відрізняєш? Миші? Сови? А при чому тут
геометрія?
Ірина (загадково поглядаючи на дівчат). А
що ви чули про муз?
(Слайд 10)
Ганна. Ірино! Опам'ятайся! Що з тобою? То миші. То сови. Тепер вже музи?
Ірина. А все-таки?
Ганна. Ну… Це такі, ніби богині у греків
були, і вони різними… там… мистецтвами займалися: одна – театром, друга –
віршами, третя – ще чимось…
Ірина. А тобі не доводилось чути, щоб ці
музи діяли хором?.. а щось про любов до
рідного краю?
Ганна. Стривай, стривай . Колись,
готуючись до уроку зарубіжної літератури, я невеличкий віршик знайшла:
Свій
хор завітний водять музи
Далеко
від нещасть і бід.
А
свої рідні Сіракузи
Люби,
як древній Архімед.
(Слайд 11)
Ірина. Саме про це я і хочу розповісти. А
пісенька моя про архімедове число. Це щось схоже на те, як ми іноді говоримо
замість «у чисельнику» - «вгорі», замість «у знаменнику» - «внизу». Так ось:
двадцять дві сови сиділи – це двадцять два у чисельнику, а сім мишей, що грають
в жмурки, - сім у знаменнику. Таким
чином, маємо дріб 22/7. Саме цей дріб знаменитий Архімед вважав відношенням
довжини кола до його діаметра. Свої ідеї і методи він виклав у праці «Вимірювання
круга», у якій виходить з того, що
довжина кола міститься між довжинами периметрів правильних вписаних і описаних
многокутників з однаковою кількістю сторін і, якщо їх кількість необмежено
подвоювати, то їхні периметри наближатимуться до своєї границі – довжини кола.
Архімед кількість сторін многокутників довів до 96. І відношенням довжини кола
до діаметра він узяв досить точне, як на ті часи, число двадцять дві сьомих, що
наближено дорівнює 3,14.
А
якщо ми завели мову про Архімеда, то про знамените число П і про не менш знаменитого Архімеда я заспіваю
вам ще одну пісеньку, яка полегшить запам'ятовування цього числа.
Перемогу
в Сіракузах
Рим
вшановував найбільш.
Але
праці Архімеда
Я
прославлю ще гучніш.
Варто
скласти у підсумку
Шану
сивій давнині,
Щоб не схибить у підрахунку
Кола
вашого мені.
Не
обтяжить (вірю!) праця,
Ось
такий затямить зміст:
Три-чотирнадцять
- п'ятнадцять,
Дев'яносто
два і шість.
Входить Надія.
Надія. А що це ви тут, дівчата, за співи
влаштували? Аж на вулицю чути: «три-чотирнадцять-п'ятнадцять, дев'яносто два і
шість».
Соломія. А тут нас Ірина навчає, як значення
числа П з точністю до семи знаків після коми запам'ятати.
Надія. Пхе. Семи знаків? А ви знаєте, з
якою точністю тепер значення цього незвичайного числа визначили? Але давайте по
порядку. Я тільки що з кабінету математики. Там я такі дані знайшла…
Погоня
за знаками
1)
Андріан Антоніс - 6 точних десяткових знаків (в XVI ст.);
2)
Цзу Чун-чжі (Китай) - 7 десяткових знаків (V ст.н.е.);
3)
Франсуа Вієт - 9 десяткових знаків;
4)
Андріан ван Ромен - 15 десяткових знаків (1593г.);
5)
аль-Каші - 17 знаків після коми (XV ст.)
6)
Лудольф ван Келён - 20 десяткових знаків;
7)
Лудольф ван Цейлену - 32 десяткових знаків (1596р.). На його честь число Пі
було названо сучасниками "Лудольфово число".
8)
Авраам Шарп - 72 десяткових знаків
9)
З. Дазе - 200 десяткових знаків (1844г.)
10)
Т. Клаузен - 248 десяткових знаків (1847р.)
11)
Ріхтер - 330 знаків, З. Дазе - 440 знаків і У.Шенкс - 513 знаків (1853г.)
Поезія цифр числа
Розгляньте
уважно його першу тисячу знаків, проникніться поезією цих цифр, адже за ними
стоять тіні найвидатніших мислителів Стародавнього світу і Середньовіччя,
Нового і теперішнього часу.
П = 3,
1415926535
8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461
2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726
0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173
8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176
2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091
7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611
2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951
0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863
8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Тут
кожен може знайти № свого телефону, дату свого народження або домашню адресу.
Розгадкою
таємниці цього незрозумілого числа займалися практично всі відомі нам
математики: (Слайд 12-17)
Евклід, Архімед, Піфагор, Вієт, Ейлер, Ньютон
та інші. І точність його обчислення весь час зростала. Так, на початку 18 ст.
його обчислили з точністю до 100 знаків після коми, у 1844 р. кількість знаків
подвоїлася, а через одинадцять років потроїлася. У 1874 р. їх уже знайшли 707!
Новий стрибок в уточненні числа П зробили з появою
електронно-обчислювальної техніки. Так, у 1949 р. його обчислили з точністю до
тритисячного знака, в 1957 р. – до
десятитисячного, у 1961 р. ця точність вже становила понад сто тисяч знаків, у
1981 р. – 150000, у травні 1994 р. – 4 044 000 000. А японський
професор Ясумаса Канада (Слайд 18) знайшов 12 411
трильйонів знаків. Результати його роботи були негайно засекречені. Адже, як
свідчать публікації преси, у числі П містяться у закодованому вигляді всі
написані і ненаписані книги і взагалі будь-яка інформація, яка існує. А тому
такий обсяг даних уможливлює відтворення змісту будь-якого секретного
документа.
Соломія. Дівчата, мені чомусь робиться
страшно. Невже це та математика, до якої
ми не дуже серйозно відносимось? І що це за число таке, що стільки умів стільки
часу морочать собі з ним голову?
У залі наростає якийсь дивний шум.
Голос. Лице Пі було вкрите маскою. Усі зрозуміли, що
зірвати її і лишитися при цьому живим ніхто не зможе. Крізь прорізи маски
пронизливо, безжалісно, холодно й загадково дивилися очі.
Сценою просувається фігура, прокрита
білим простирадлом з прорізами для очей. На голові – щось схоже на корону,
прикрашену знаком П. на грудях, на спині теж написано П. дівчата ховаються одна за одну.
Фігура (грошовитим голосом). Кому тут страшно? Хто несерйозно
ставиться до математики?
Шум у залі наростає, потім поступово
стихає. Дівчата злякано відходять назад. На половину сцени, де знаходиться
дошка і комп'ютер, виходять учні.
1-й учень. Відношення довжини кола до діаметра, яке математики
позначають буквою П, виникає в багатьх ситуаціях, які не мають ніякого
відношення до кіл. Ось приклад. Якщо з множини цілих додатних чисел навмання
вибрати два числа, то ймовірність того, що , вибрані числа не матимуть
спільного дільника, дорівнює П.
2-й учень. Число П входить до формул, за якими
обчислюють період коливань математичного та пружинного маятників і навіть
період коливань коливального контура.
3-й учень. Жоден дріб з цілими
чисельником і знаменником не може точно дорівнювати П, але існує багато простих
дробів, які дають дуже добре наближення числа П. Найчудовіший з них ще в 5
ст. знайшов китайський математик і астроном Цзу Чунчжі.
(Слайд 19)
На
Заході його відкрили аж через тисячу років. Для одержання його достатньо
написати по два рази перші три непарні числа: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Три останні з
них записати у чисельнику, а три перші – у знаменнику:
. Важко повірити, але цей дріб є
записом числа П з точністю до сьомого
знака. Хто не вірить, за допомогою калькулятора перевірте.
4-й учень. Наближені значення П отримують,
добуваючи квадратний корінь з 10
,162, квадратний корінь з відомого
у фізиці
Кубічний корінь з 31
наближене значення цього числа отримаємо,
знаходячи суму квадратних коренів з чисел:
5-й
учень. А ось ще кілька математичних виразів, які дають наближене значення
виразів, у які входить число П. (Учень демонструє за допомогою комп'ютера.)
П=
*
*
*
*
*
*
…
П/4=1-
+
-
+
-
+…
6-й учень. Перші спроби обчислити точні значення
числа П пов'язані з
намаганнями розв'язати класичну
проблему квадратури круга . Чи можна,
користуючись лише циркулем і лінійкою, побудувати квадрат, площа якого дорівнює
точно площі даного круга? Якби ми могли
зобразити П як раціональний дріб або
корінь квадратного рівняння, то за
допомогою циркуля і лінійки неважко було б побудувати відрізок прямої , довжина
якого точно дорівнювала б половині довжини кола. Звідси вже зовсім легко знайти
квадратуру круга: для цього достатньо побудувати прямокутник, у якого одна
сторона дорівнює радіусу кола, а друга – половині його довжини. Площа такого
прямокутника дорівнює площі круга, а перетворити його на рівновеликий квадрат
неважко. Навпаки, якби задача про квадратуру круга була розв'язана, то це
означало б, що можна побудувати відрізок прямої, довжина якого точно дорівнює П. проте існують строгі доведення
трансцендентності числа П і неможливості побудувати за допомогою циркуля та лінійки
відрізка, довжина якого виражається трансцендентним числом.
Таємнича фігура в білому, ще раз пробігши
сценою, ховається в її кутку. Учні виходять. Світло на цій частині сцени гасне.
Дівчата здивовано поглядають одна на одну.
Тетяна. І скільки ж іще загадок піднесе нам це число? Наприклад , П – трансцендентне число. А що це слово означає?
Галина (виходить). А що, дівчата? Як справи з
вашим загадковим числом?
Соломія. Та ось запитання у нас: що означає
вираз «трансцендентне число»?
Галина.
Тут одним словом не скажеш. Ви вже напевно знаєте з алгебри, що числа, які
можна записати як частку двох цілих чисел, є раціональними. Їх можна записати також як нескінченні періодичні
десяткові дроби. Числа, які не можна представити у вигляді звичайного дробу, а
у десятковому запису вони є нескінченними неперіодичними десятковими дробами,
називають ірраціональними. До таких
чисел відносяться корені квадратні з 2, 3, 5, 7, і т.д. добувши квадратний
корінь із цих чисел на звичайному калькуляторі, ви переконаєтесь у їхній
неперіодичності. Але всі вони є розв'язками алгебраїчних рівнянь.
Більше
того, відрізки довжиною
можна побудувати за допомогою лінійки та
циркуля. Наприклад, щоб відкласти відрізок, що дорівнює
будуємо прямокутник, сторони якого дорівнюють
двом одиницям та одиниці. Довжина його діагоналі за теоремою Піфагора і буде
шуканим
А
трансцендентний у перекладі з
латинської означає той, що виходить за межі. Трансцендентне число – це число, яке не може бути коренем ніякого многочлена з цілими коефіцієнтами. І,
безумовно, побудувати відрізок, довжина якого б дорівнювала точно тому чи
іншому трансцендентному числу, неможливо. Ось і ваше П
відноситься до компанії
цих чисел.
Ірина. А що? Хіба воно не єдине із загадкових
чисел?
Галина. Мені, в усякому разі, відомі ще два
таких числа: е
2,71828…
та число
ф
1,61803…
Вони
теж оповиті пеленою мороку та загадковості. Але ви спочатку розберіться з
числом П, а тоді колись поведемо мову про інші трансцендентні числа.
Лише
скажу, що строго математично довів трансцендентність числа П 26 листопада 1882 р. на семінарі з математики в Фрейбурзькому
університеті молодий німецький професор Фердінанд фон Ліндеман. (Слайд 20)
Крім
того, в усьому математичному світі відзначають незвичайне свято – День числа
Пі.
Дівчата разом (здивовано). День числа Пі? Коли?
Галина. Так. День числа Пі відзначають 14
березня. Адже перші його цифри з,14, якщо читати їх в англосакській традиції,
де спочатку місяць, а потім число, то вийде – третього місяця чотирнадцятого
числа.
Головна
церемонія проходить у музеї. Кульмінація припадає на 1:00 59 хвилин 26 секунд
після полудня. Учасники свята марширують уздовж стін круглого залу, співаючи
пісні про число, а потім їдять круглі пі-роги і пі-ццу, п'ють на-пі-тки і грають
в ігри, які починаються на Пі. У центрі залу розміщують латунну тарілку, на
якій викарбовано число П з першими 100 знаками після коми. (Слайд 21)
А
в центрі Парижа, поблизу знаменитого Лувра знаходиться єдиний у світі музей
числа П. Не
знаю, чи це проста випадковість, але визначний фізик, творець теорії
відносності, у якій теж багато незрозуміло простим смертним загадок і з якою ви
будете знайомитись на уроках фізики в 11-му класі, Альберт Ейнштейн народився
саме в день числа П. (Слайд 22)
Можливо , і серед присутніх є народжені 14
березня? То побажаймо їм зробити визначне наукове відкриття.
Немає коментарів:
Дописати коментар